Проблемы с отпуском и случайным больничным, помогите пожалуйста

Я не юрист, но предположения таковы: больничный не должны считать вместо отпуска. Особенно, если работа по ТК. Это частные предприятия могут мудрить с предоставлением положенных отпусков и выплат.
А если больничный лист попадает на уже начавшийся отпуск, то к отпуску должны прибавить (т.е увеличить отпуск) столько дней, сколько занял больничный. Так было на моем личном опыте.

Больничный больничным, а отпуск отпуском. И про отпускные: В статье 136 Трудового кодекса РФ говорится следующее: "Оплата отпуска производится не позднее чем за три дня до его начала".

Ваша мама в данной ситуации совершила ошибку, не написав  заявление на отпуск. На сколько я помню, его надо писать за 2 недели (по-крайней мере точно знаю, что работодатель должен за 2 недели по ТК уведомлять сотрудника о дате очередного отпуска, из этой его обязанности вытекает и обязанность работника написать его за 2 недели).
Из вашей ситуации: ваша мама не написала заявление, поэтому ни о какой компенсации не может быть и речи. Она фактически была на больничном.
Теоретически в отпуске из указанного выше ей вполне могли отказать, т.к. Работник не предупредил заранее, значит, отпуск мог быть предоставлен другому сотруднику (это как один из вариантов).
т.к. Работник не воспользовался отпуском согласно графика отпусков, то предоставить ей отпуск в другой период (вне графика) ей могут, но только с согласия компании, т.к. есть официально утвержденный график и есть другие сотрудники, которым не могут отказать, если они соблюли все условия ТК.
При этом, компания не имеет права делать подмену: больничный, это больничный, он никак не может быть приравнетк отпуску.
Но я рада, что компания пошла на встречу вашей маме и все сложилось благополучно.